薛老的部落格

某些年前, 笨狐狸問我, 為什麼數學講的都是對的? 我說, 因為數學是用邏輯推理一步一步推出來的。於是笨狐狸又問了, 為什麼邏輯就一定是對的? 事實上我忘了當時怎麼回答的, 但是確定的是, 一個不是學數學的人用這樣的角度懷疑數學, 著實讓我欽佩。因為這是一個我從來沒有想過, 又或者是, 學數學的人從來就不敢去想的問題:

『一旦邏輯發生錯誤, 那我們學的東西到底是什麼?』

早在古希臘時代, 希臘人用理性思考和邏輯推理付予了當時只有應用的測量學一個神聖的名字－數學, 從此數學幾乎變的不可侵犯, 不容懷疑。往後數百年, 歐幾里德更是用公設系統建立了數學上最完美的幾何體系－幾何原本。一直到十八世紀之前, 數學家始終堅信數學是牢不可破的。之後發生的公設化, 一致性的證明困難, 羅素悖論, 直到哥德爾不完備定理, 終於把數學打入一個無底的深淵:

『數學家其實是冒著胡言亂語的危險繼續在作研究』

簡單來說, 大家原本認為不可能發生錯誤的邏輯原理, 在某些情形之下有可能是不適用的, 更簡單的例子, 就是悖論。所謂悖論是用一種邏輯演譯, 推導出一個與現實不符的結果。悖論的產生讓數學家意識到證明邏輯的原理或者其公設的一致性和完備性是重要的, 然而哥德爾的不完備定理恰恰敲中了這一個痛點, 也就是, 一個具有完備性的公設系統是不存在的。

因為這是一篇網誌, 所以前面只是簡單整理書上令我印象較深的事件, 現在要講的, 就比較好懂了。

如果大家對這本書有興趣, 建議各位從十四章讀起, 因為這是一本很深的數學史的書, 內有太多專有名詞, 雖然作者盡力的將這些名詞或理論用例子表現, 但是對沒有數學背景的人來說還是艱澀的。整本書主要是談數學在這幾百年來發生的種種衝擊, 事實上數學不再是柏拉圖以為的那個理想世界, 大自然也未必是用理想的狀態在建構自身, 對於數學系的我來說, 這本書真的看完有很大的衝擊。我一直以來相信的邏輯, 公設化, 原來都可能是錯的。不過就像書上說的, 即使是如此, 數學依然在科學中扮演著非常重要的角色, 即使我們懷疑微積分處理極小量的方式, 即使我們無法接受非標準分析, 但是不可否認是微分方程建構出這樣充滿電磁波的世界, 是微分方程讓無線傳輸變成可能, 讓物理定律不再是牛頓時代那種非得看到才能做出的實驗系統。

最後跟大家分享書底的這一段話:

『人靠著天賦的有限感官和大腦, 試圖穿透周遭的神秘, ......尋求的是秩序, 目標是建立相對於無常感覺的系統知識, 構作解釋的模式, 協助自己或多或少掌握身處的環境, 我們的主要成就, 自身理性的產物, 就是數學。

數學不是完美的寶石, 就算不斷琢磨也不見得能去除所有的瑕疵。但是, 數學是我們和感官知覺世界之間最有效的連結。雖然數學基礎不穩固令人困窘, 但這仍然是人類心靈最珍貴的寶石, 必須珍藏與善用。......懷德海曾說:「讓我們承認, 數學探索對於人類靈魂是種神聖的瘋狂。」瘋狂, 也許吧, 但神聖是確定的。』